WWW.KN.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Различные ресурсы
 


«УДК 534.1 В.П. ОЛЬШАНСКИЙ, д-р физ.-мат. наук, профессор, ХНТУСХ, Харьков; С.В. ОЛЬШАНСКИЙ, канд. физ.-мат. наук, НТУ «ХПИ» СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА ...»

УДК 534.1

В.П. ОЛЬШАНСКИЙ, д-р физ.-мат. наук, профессор, ХНТУСХ, Харьков;

С.В. ОЛЬШАНСКИЙ, канд. физ.-мат. наук, НТУ «ХПИ»

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА ЛИНЕЙНОПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ С СУХИМ ТРЕНИЕМ

Модернизированным методом энергетического баланса выведены приближенные формулы для

расчета амплитуд малых затухающих колебаний осциллятора переменной массы при действии

силы сухого трения. Рассмотрены варианты колебаний при постоянном значении силы трения и переменном, когда сила трения пропорционально массе осциллятора. Проведено сравнение численных результатов, к которым приводят полученные формулы и известные более точные решения. Показано, что выведенные компактные приближенные формулы имеют хорошую точность и удобны для инженерных расчетов.

Ключевые слова: свободные колебания, линейно-переменная масса, сухое трение.

Введение. В технике распространены механизмы, массы которых монотонно меняются с течением времени. Много примеров таких механизмов есть в монографиях [1,2]. Нередко их колебания проходят при действии сил сухого трения, что стало предметом специального исследования в [1]. В указанной монографии уравнения движения с монотонно переменными коэффициентами на коротких интервалах времени (полуциклах колебаний) приближенно заменяли уравнениями с постоянными коэффициентами. Затем, методом припасовывания сшивали аналитические решения уравнений с постоянными коэффициентами, меняя при этом скачкообразно массу колебательной системы в моменты ее остановок. Этот громоздкий способ расчета можно упростить, используя энергетический метод, который позволил сравнительно просто рассчитывать затухающие колебания осцилляторов постоянных параметров при нелинейном сопротивлении движению [3,4]. Но для повышения точности расчета колебаний осцилляторов переменной массы методом энергетического баланса нужно модернизировать метод, что послужило мотивом к этому исследованию.

Целью данной статьи является адаптация метода энергетического баланса к расчету колебаний осцилляторов переменной массы при действии силы сухого трения и демонстрация результатов, к которым приводит модернизация метода.

1. Колебания осциллятора при постоянном значении силы сухого трения. Без учета действия реактивной силы, их описываем дифференциальным уравнением © В.П. Ольшанский, С.В. Ольшанский, 2014 1 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2014. № 57 (1099) ( m0 + t ) x + сx = FT signx. (1) В нем m0 – начальное значение массы; – скорость изменения массы во времени t; c – коэффициент жесткости пружины; FT – значение силы трения;

x = x ( t ) – перемещение осциллятора, отсчет которого ведем по оси 0х от торца недеформированной пружины; точкой над x обозначена производная по t.

Рисунок 1 – Расчетная схема Как

–  –  –

Анализ численных результатов. Для проведения расчетов принимаем:

m0 = 3 кг; c = 1962 Н/м; FT = 5,886 Н; a0 = 0,0615 м; = ±1,5 кг/с и = ±2 кг/с.

Вычисленные по формуле (10) значения амплитуд размахов записаны в числители табл. 1.

Знаменатели в табл. 1 заимствованы из [6, табл. 2.4]. Там они были получены для указанных выше исходных данных ВБК-методом. Расхождения результатов в числителях и знаменателях табл. 1 незначительны, за исключе

–  –  –

Проверим, как теоретические оценки согласуются с тем количеством размахов, что имеем в табл. 1. Подставив указанные выше числовые данные в (16), находим, что n* = 10. Тогда, при 0 количество размахов k 10, а при 0 k 10. Указанные в табл. 1 количества размахов удовлетворяют этим неравенствам.





В числители табл. 2 записаны значения амплитуд размахов, к которым приводит формула (10), при m0 = 4 кг; c = 1600 Н/м; a0 = 0,05 м; FT = 8 Н;

= ±1 кг/с и = ±2 кг/с.

В знаменатели табл. 2 помещены результаты, взятые из [6, табл. 2.11 и 2.12], где расчет колебаний проведен ВБК-методом. Имеем хорошее совпадение значений амплитуд размахов, вычисленных разными способами.

Символом * помечены те размахи, при которых осциллятор, попав в зону застоя, не проходит положения x = 0.

Проверим согласование количеств размахов, указанных в табл. 2 с неравенствами (14) и (15). При = 1 кг/с имеем: b 1,0186 м; t* 0,805 с; k* равно округленному до целого (5,125) 5; k* равно округленному до целого 7 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2014. № 57 (1099) (4,676) 5. Согласно (14): 5 k 5 k = 5.

При = –1 кг/с находим:

b 1,0186 м; t* 0,767 с; k* равно округленному до целого (4,883) 5; k* равно округленному до целого (5,431) 5. Согласно (15): 5 k 5 k = 5. В обоих случаях указанные количества размахов в табл. 2 согласуются с неравенствами (14) и (15).

–  –  –

Используя формулу (19), рассмотрим убывание амплитуд колебаний осциллятора при действии переменной силы трения. Следуя работе [5], для проведения расчетов принимаем: m0 = 3 кг; c = 1962 Н/м; a0 = 0,0615 м;

f = 0,3; = 2,5 кг/с. Полученные двумя методами значения амплитуд размахов и масс в моменты остановок указаны в табл. 3.

–  –  –

Результаты расчетов модернизированным энергетическим методом в табл. 3 близки к результатам численного интегрирования дифференциального уравнения движения в работе [5].

В числителях табл. 4 записаны значения амплитуд размахов, вычисленные по формуле (19) при m0 = 4 кг; c = 1600 Н/м; a0 = 0,05 м; f = 0,2; = ±0,5 кг/с и = ±1 кг/с. В знаменатели записаны результаты расчетов, проведенных методом ВБК в работе [6, табл. 2.13, 2.14].

–  –  –

Имеем хорошее согласование значений амплитуд, вычисленных двумя методами.

Вычислим, к каким значениям k приводят оценочные неравенства при = ±1 кг/с. Подставив числовые данные в формулу (21) получаем n* = 5. Согласно теоретическим оценкам: при = 1 кг/с – k 5, а при = –1 кг/с – k 5.

Количества размахов, указанные в табл. 4 не противоречат этим оценкам.

Определим далее числа k* и k*. При = 1 кг/с находим: d 1,0189 м;

t * 0,805 с; k* равно округленному до целого (5,126) 5; k* равно округленному до целого (4,676) 5. Согласно (14): 5 k 5 k = 5. При = –1 кг/с имеем: d 0,980 м; t 0,796 с; k* равно округленному до целого (5,071) 5;

k* равно округленному до целого (5,666) 6. Согласно (15): 5 K 6. Число размахов k в табл. 4 удовлетворяет этому двойному неравенству.

Выводы. Вычисления подтвердили, что полученные модернизированным энергетическим методом формулы вполне пригодны для расчета затухающих амплитуд колебаний осциллятора линейно-переменной массы при действии силы сухого трения.

Список литературы: 1. Бессонов А.П. Основы динамики механизмов с переменной массой звеньев / А.П. Бессонов. – М.: Наука, 1967. – 267 с. 2. Сveticanin L. Dynamics of Machines with Variable Mass / L. Сveticanin. – Taylor & Francis Ltd, 1998. – 300 p. 3. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний / Я.Г. Пановко. – М.: Наука, 1980. – 270 с. 4. Боголюбов Н.Н.

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. – М.: Наука, 1974. – 504 с. 5. Ольшанський В.П. Вільні коливання осцилятора змінної маси при наявності сухого тертя / В.П. Ольшанський, С.В. Ольшанський // Вісник НТУ «ХПІ».

Серія:

Математичне моделювання в техніці та технологіях. – 2013. – № 54 (1027). – С. 172-178. 6. Ольшанский В.П. Метод ВБК в расчетах нестационарных колебаний осцилляторов / В.П. Ольшанский, С.В. Ольшанский. – Х.: Міськдрук, 2014. – 264 с.

9 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2014. № 57 (1099) Bibliography (transliterated): 1. Bessonov A.P. Osnovy dinamiki mehanizmov s peremennoj massoj zven’ev. A.P. Bessonov. Moscow: Nauka, 1967. 267 Print. 2. Сveticanin L. Dynamics of Machines with Variable Mass. L. Сveticanin. Taylor & Francis Ltd, 1998. 300 Print. 3. Panovko Ya.G. Vvedenie v teoriyu mehanicheskih kolebanij. Ya.G. Panovko. Moscow: Nauka, 1980. 270 Print. 4. Bogolyubov N.N. Asimptoticheskie metody v teorii nelinejnyh kolebanij. N.N. Bogolyubov, Yu.A. Mitropol’skij.

Moscow: Nauka, 1974. 504 Print. 5. Ol’shans’kyj V.P. Vil’ni kolyvannya oscylyatora zminnoyi masy

pry nayavnosti sukhoho tertya. V.P. Ol’shans’kyj, S.V. Ol’shans’kyj. Visnyk NTU «KhPI». Seriya:

Matematychne modelyuvannya v tekhnici ta tekhnolohiyakh. 2013. № 54 (1027). 172-178. Print. 6.

Ol’shanskij V.P. Metod VBK v raschetah nestacionarnyh kolebanij oscillyatorov. V.P. Ol’shanskij, S.V.

Ol’shanskij. Kharkiv: Mis’kdruk, 2014. 264 Print.

Поступила (received) 16.04.2014 УДК 539.3: 517.9.

Свободні коливання осцилятора лінійно-змінної маси з сухим тертям / В.П. Ольшанский, С.В. Ольшанский // Вісник НТУ «ХПІ». Серія: Динаміка і міцність машин. – Х.: НТУ «ХПІ», 2014. – № 57 (1099). – С. 67-76. – Бібліогр.: 6 назв. – ISSN 2078-9130.

Модернізованим методом енергетичного балансу виведено наближені формули для розрахунку амплітуд малих затухаючих коливань осцилятора змінної маси при дії сили сухого тертя.

Розглянуто варіанти коливань при сталому значенні сили тертя та змінному, коли сила тертя пропорційна масі осцилятора. Проведено порівняння числових результатів, до яких приводять отримані формули та відомі більш точні розв’язки. Показано, що виведені компактні наближені формули мають хорошу точність та зручні для інженерних розрахунків.

Ключові слова: вільні коливання, лінійно-змінна маса, сухе тертя.

УДК 539.3: 517.9.

Свободные колебания осциллятора линейно-переменной массы с сухим трением / В.П. Ольшанский, С.В. Ольшанский // Вісник НТУ «ХПІ». Серія: Динаміка і міцність машин.

– Х.: НТУ «ХПІ», 2014. – № 57 (1099). – С. 67-76. – Бібліогр.: 6 назв. – ISSN 2078-9130.

Модернизированным методом энергетического баланса выведены приближенные формулы для расчета амплитуд малых затухающих колебаний осциллятора переменной массы при действии силы сухого трения. Рассмотрены варианты колебаний при постоянном значении силы трения и переменном, когда сила трения пропорционально массе осциллятора. Проведено сравнение численных результатов, к которым приводят полученные формулы и известные более точные решения. Показано, что выведенные компактные приближенные формулы имеют хорошую точность и удобны для инженерных расчетов.

Ключевые слова: свободные колебания, линейно-переменная масса, сухое трение.

Free fluctuations of linearly-variable weights oscillator with dry friction / V.P. Ol’shanskij, S.V.

Ol’shanskij // Bulletin of NTU "KhPI". Series: Dynamics and strength of machines. – Kharkiv: NTU "KhPI", 2014. – № 57 (1099). – P. 67-76. – Bibliogr.: 6. – ISSN 2078-9130.

In this paper was carried out a brief overview of the current state of the problem and analysis of publications on it. The aim of this article is to adapt the method to calculate the energy balance oscillators with variable mass under the action of dry friction force. First we considered the problem of the oscillator at a constant value of dry friction force. The problem is reduced to the integration of nonlinear differential equations with variable coefficients. With the modified method of energy balance were obtained approximate formulas for the calculation of the amplitude and the mass of the oscillator at the end of the k-th magnitude. We also obtain estimates for the limited number of ranges oscillator with variable mass. Exact, but one-sided estimates of scale were constructed by comparing oscillator variable and constant mass. The second was considered problem of the oscillator with a variable frictional force. Here, based on the energy balance method, formulas for calculating the amplitude of the 10 ISSN 2078-9130. Вісник НТУ «ХПІ». 2014. № 57 (1099) oscillations at the end of the k-th magnitude were obtained. The conditions are investigated under which the process of the oscillator are complete. The work carried out numerical calculations in which a comparison of oscillation amplitudes obtained by the method of energy balance and the WBK method. A good agreement between the values in the amplitude calculated in different ways. Review the adequacy of two-sided estimates for the number of oscillation amplitudes. Also was compared the values of the amplitudes obtained by approximate formulas with the results of numerical integration of initial differential equations. Calculations were confirmed that received an upgraded energy method are quite suitable formula for calculating the amplitude damped oscillator linearly variable mass under the action of dry friction force.

Key words: free vibrations, linear-variable mass, dry friction.




Похожие работы:

«ISSN 1994-0351. Интернет-вестник ВолгГАСУ. Сер.: Политематическая. 2012. Вып. 3 (23). www.vestnik.vgasu.ru _ УДК 159.98 А. Д. Ишков ДИАГНОСТИКА И ТЕХНОЛОГИИ ПОВЫШЕНИЯ УРОВНЯ АДАПТАЦИИ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ Структурное преобразование выс...»

«Аппараты для дистилляции и ректификации жидкостей РЕКТИФИКАЦИОННАЯ-БРАЖНАЯ КОЛОННА "СПЕЦНАЗ" ИНСТРУКЦИЯ ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ РБК "СПЕЦНАЗ" самогонный аппарат с новыми возможностями! Оглавление 1. Назначение. Варианты исполнения 2. Глоссарий 3. Устройство РБК "СПЕЦНАЗ". 4. Достоинства аппарата. 5. Технические характеристики 6. Подготовка к работе Провер...»

«http://teachmen.ru/methods/ phys_prac6.php 7. Dvoryashin B.V. Kuznetsov L.I. Radiotekhnicheskiye izmereniya. Ucheb. posobiye dlya vuzov. Moscow: Sovetskoye radio, 1978. 360 s. Print. 8. Rudakov V.V., Korobko A. I., Kor...»

«Шопоголик Софи Кинселла Тайный мир шопоголика "Эксмо" УДК 821.111-31 ББК 84(4Вел)-44 Кинселла С. Тайный мир шопоголика / С. Кинселла — "Эксмо", 2000 — (Шопоголик) ISBN 978-5-699-91621-4 Всем известно, что жизнь – нелегкая штука. Буквально на каждом шагу нас подстерегают неприятности и всяческие сложности. Как с...»

«Помощник Энергетика №1 Низковольтная лаборатория Высоковольтная лаборатория Счетчики электрической энергии и все для учета Ремонт и обслуживание трансформаторов и ТП Производство Конденсаторных установок КРМ 0,4 кВ Внедрение систем учета электроэнерг...»

«Особенности лечения заболеваний эндокринной системы у геронтов Гипотиреоз ЛЕЧЕНИЕ 1.Диетотерапия, стол № 10;2.ЛФК, адекватный подбор упражнений.3.Заместительная терапия. Назначаются г...»

«Access Professional Edition Personnel Management ru Руководство пользователя Access Professional Edition 3.0 Содержание | ru 3 Содержание 1 Общие данные 5 1.1 Вход пользователя 9 1.2 Расположение компонентов главного окна 10 1.3 Меню и панель инструментов 12 1.4 Настройки управления персоналом 18 3 Права п...»








 
2017 www.kn.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные ресурсы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.