WWW.KN.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Различные ресурсы
 


«7.1 Число покрытия и число упаковки Пусть X — произвольное метрическое пространство и 0. Определяемые ниже числовые характеристики пары (X, ) будут в дальнейшем использованы ...»

Лекция 7

Пространство метрических компактов.

Данный раздел посвящен описанию различных свойств семейств метрических пространств. Особое внимание

уделяется семейству классов изометрии метрических компактов.

7.1 Число покрытия и число упаковки

Пусть X — произвольное метрическое пространство и 0. Определяемые ниже числовые характеристики

пары (X, ) будут в дальнейшем использованы нами при изучении вполне ограниченных семейств метрических

компактов, в частности, в терминах этих чисел будет сформулирован критерий Громова предкомпактности семейства компактных метрических пространств.

Определение 7.1. Числом покрытия cov(X, ) назовем наименьшее число открытых шаров радиуса, которыми можно покрыть пространство X. Числом упаковки pack(X, ) назовем максимальное число открытых попарно непересекающихся шаров радиуса /2 в пространстве X.

Упражнение 7.2. Докажите, что (1) метрическое пространство X ограничено, если только если для некоторого 0 выполняется cov(X, ) (аналогичное утверждение для pack(X, ) );

(2) метрическое пространство X — конечное, если и только если существует n такое, что cov(X, ) n при всех 0 (аналогичное утверждение для pack(X, ));

(3) функции f () = cov(X, ) и g() = pack(X, ) — монотонно убывающие.

Предложение 7.3. Для любого метрического пространства X и любого числа 0 имеем cov(X, ) pack(X, ) cov(X, /4).

Доказательство. Докажем сначала первое неравенство. Если pack(X, ) =, то неравенство автоматически выполнено. Пусть теперь pack(X, ) и x1,..., xn, n = pack(X, ), — наибольший набор точек в X, для которого шары U/2 (xi ) попарно не пересекаются. Так как это семейство максимально, то для любого x X существует xk такое, что U/2 (x) U/2 (xk ) =, откуда |xxk |. Но тогда семейство {U (xi )}n покрывает X, i=1 так что cov(X, ) n = pack(X, ).

Докажем второе неравенство. Снова, если cov(X, /4) =, то неравенство выполнено. Пусть теперь cov(X, /4) и x1,..., xm, m = cov(X, /4), — наименьший набор точек в X, для которого шары U/4 (xi ) покрывают X. Предположим, что pack(X, ) cov(X, /4), тогда существуют x,..., x, n cov(X, /4), такие, что 1 n шары U/2 (x ) попарно не пересекаются. С другой стороны, для некоторых i = j существует k такое, что i x, x U/4 (xk ), следовательно, {x, x } U/2 (x ) U/2 (x ), так что это пересечение непусто, противореi j i j i j чие.

Следствие 7.4. Пусть X — произвольное метрическое пространство, тогда (1) если pack(X, ), то cov(X, ) ;

7.2. Вполне ограниченные семейства 35 (2) если cov(X, ), то

–  –  –

7.2 Вполне ограниченные семейства метрических компактов Перейдем теперь к изучению семейств компактных метрических пространств. Нас будет интересовать, когда то или иное семейство является вполне ограниченным. Начнем со следующего вспомогательного утверждения, которое понадобится нам ниже. Напомним, что через M мы обозначаем метрическое пространство классов изометрии метрических компактов с метрикой Громова–Хаусдорфа. Для n N обозначим через Mn M множество всех метрических пространств, каждое из которых имеет не более чем n точек, а через M[n] M — ровно n точек. Для D 0 через M(D) M обозначим множество всех метрических компактов, диаметры которых не превосходят D. Положим также Mn (D) = Mn M(D) и M[n] (D) = M[n] M(D). Ясно, что Mn = kn M[k] и Mn (D) = kn M[k] (D).

Предложение 7.7. Множество M[n] (D) вполне ограничено.

Доказательство. Для M M[n] (D) рассмотрим всевозможные биекции : M {1,..., n}, и по каждому такому построим матрицу расстояний f (M, ) = = (ij ), положив ij = 1 (i) 1 (j). Пусть T — множество всех таких матриц. Ясно, что отображение f (M, ) M является некоторой сюръекцией g : T M[n] (D).





Зададим на T функцию расстояния, порожденную -нормой, так что T будем рассматривать как подмножество в Rn. Так как для каждых i, j имеем |ij | D, то T является ограниченным и, значит, вполне ограниченным подмножеством Rn.

Если M, M M[n] (D), = f (M, ) и = f (M, ), то R = ( )1 — биективное соответствие между M и M, причем | | = dis R 2dGH (M, M ). Таким образом, сюръекция g является липшицевым отображением

–  –  –

поэтому и пункт (2) из определения множества FD,2E тоже выполнен.

Тем самым, отображение x fx изометрично вкладывает X в K.

Другие свойства пространства M 7.3 В этом разделе мы приведем ряд свойств пространства M.

Полнота пространства M 7.3.1 Теорема 7.11 позволяет доказать следующий результат.

Теорема 7.15.

Пространство M — полное.

Доказательство. Рассмотрим произвольную фундаментальную последовательность {Xi } M. Тогда {Xi } i=1 i=1 — вполне ограниченное подмножество M. По теореме 7.11, существует такой компакт K, в который все Xi изометрично вкладываются. Обозначим образ Xi через Yi. По теореме 2.13, пространство H(K) всех замкнутых ограниченных подмножеств K также компактно, поэтому последовательность Yi точек из H(K) содержит сходящуюся подпоследовательность Yni. Пусть Y — предел этой подпоследовательности. Тогда Y — непустое компактное метрическое пространство и

–  –  –

7.3.2 Критерий Громова предкомпактности Напомним, что подмножество топологического пространства называется предкомпактным, если его замыкание компактно. Теорема 7.10 формулирует необходимые и достаточные условия полной ограниченности подмножества пространства Громова–Хаусдорфа M. Теорема 7.15 утверждает, что M — полное пространство и, значит, таким же является и любое его замкнутое подмножество. Следовательно, замыкание произвольного вполне ограниченного C M является вполне ограниченным и полным, что, в силу пункта (9) из определений и фактов 2.1, влечет компактность C. Таким образом, в теореме 7.10 полную ограниченность можно заменить на предкомпактность. Итак, доказана следующая теорема, которая и называется критерием Громова предкомпактности семейства метрических компактов.

7.3. Другие свойства пространства M 38 Теорема 7.16. Пусть C — непустое подмножество M. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

–  –  –

(3) Семейство C M предкомпактно.

Сепарабельность пространства M 7.3.3 Теорема 7.17. Пространство M — сепарабельное.

Доказательство. По следствию 7.8, каждое пространство Mn (D) вполне ограничено и, значит, сепарабельно.

Но Mn = Mn (k), поэтому и все Mn, а также их объединение Mn, — сепарабельны. Но это последнее n=1 k=1 объединение есть в точности множество всех конечных метрических пространств, которое, как было отмечено в примере 6.17, является всюду плотным подмножеством M, так что и M — сепарабельно.

Напомним, что полное сепарабельное метрическое пространство называется польским. Тем самым, имеет место следующий результат.

Следствие 7.18. Пространство M — польское.

Напомним также, что топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности, если оно имеет счетную базу. Для метрического пространства это условие эквивалентно сепарабельности.

Следствие 7.19. Пространство M удовлетворяет второй аксиоме счетности.

–  –  –

которое, в частности, порождает расстояние Хаусдорфа на P(X, Y ). Тем самым, пространство P(X, Y ) и все его подпространства, например R(X, Y ), будут рассматриваться с функциями расстояния из P(X, Y ).

–  –  –

Доказательство. Достаточно показать, что для каждого соответствия Pc (X, Y ) \ Rc (X, Y ) существует окрестность U, не пересекающая Rc (X, Y ). Так как R(X, Y ), то или X () = X, или Y () = Y, где X и Y — канонические проекции. Пусть, для определенности, выполняется первое условие, т.е. существует x X \X (). Так как множество замкнуто в компакте X Y, оно является компактом, поэтому X () компактно в X и, значит, замкнуто в нем. Следовательно, существует открытый шар U (x) такой, что U (x) X () =.

И сказанного вытекает, что в качестве U можно взять U (x) Y.

–  –  –

Предложение 7.26. Если X, Y M, то функция искажения dis : Pc (X, Y ) R — непрерывна.

Доказательство. Так как (X Y ) (X Y ) — компакт, то определенная выше функция f равномерно непрерывна, поэтому для любого Pc (X, Y ) и любого 0 существует 0 такое, что для открытого шара () X Y радиуса с центром в выполняется XY U = U

–  –  –

Меняя местами и, получаем, что | dis dis |, а это означает непрерывность отображения dis.

Теорема 7.27.

Для любых X, Y M имеем Ropt (X, Y ) =.

Доказательство. По 7.26, функция dis : Rc (X, Y ) R непрерывна, а по 7.25 пространство Rc (X, Y ) компактно, поэтому dis достигает своего наименьшего значения, половина которого, в силу 7.23, равна dGH (X, Y ).

Следовательно, соответствие R, на котором это наименьшее значение достигается, — оптимальное.

Следствие 7.28. Для любых X, Y M имеем Ropt (X, Y )Rc (X, Y ) =, т.е. между любыми метрическими компактами существует замкнутое оптимальное соответствие.

–  –  –

где t, s [0, 1].

Теорема 7.32.

Для любых X, Y M и R Ropt (X, Y ) Rc (X, Y ), существующего в силу следствия 7.28, кривая t Rt, t [0, 1], соединяющая X и Y, является кратчайшей, причем ее длина равна dGH (X, Y ). Тем самым, метрика пространства M — строго внутренняя.

–  –  –

7.4 О работа Д. Эдвардса “The Structure of Superspace” Как мы уже упоминали в пункте (13) примера 1.4, расстояние Громова–Хаусдорфа между компактными метрическими пространствами было определено Д. Эдвардсом в работе [3], опубликованной в 1975 году, тогда как первые работы М. Громова [4], [5], в которых появилось это расстояние, относятся к 1981 году. Опишем кратко содержание работы Эдвардса [3], см. также [22] и [23].

В этой статье автор определяет два расстояния между компактными метрическими пространствами. В определении первого из них он использует понятие -изометрии f : X Y, отличающееся от принятого в настоящее время и приведенного в определении 6.15: у Эдвардса требуется лишь dis f, но не предполагается, что f (X) является -сетью в Y. Мы обозначим это расстояние через dE и дадим его формальное определение.

Определение 7.33. Первым расстоянием Эдвардса между компактными метрическими пространствами X и Y назовем точную нижнюю грань dE (X, Y ) тех 0, для каждого из которых существуют -изометрии в смысле Эдвардса f : X Y и g : Y X.

Затем Эдвардс показывает, что (1) расстояние dE является метрикой на семействе M классов изометрии компактных метрических пространств;

(2) пространство (M, dE ) стягиваемо;

(3) конечные метрические пространства всюду плотны в (M, dE );

(4) пространство (M, dE ) сепарабельно;

(5) компактные связные метрические полиэдры всюду плотны в замкнутом подпространстве (M, dE ), состоящем из связных метрических пространств;

(6) луч [0, ) R изометрически вкладывается в (M, dE ), поэтому пространство (M, dE ) некомпактно;

(7) гильбертов куб топологически вкладывается в (M, dE ), поэтому пространство (M, dE ) бесконечномерно;

(8) в (M, dE ) нет ни одной вполне ограниченной окрестности, в частности, (M, dE ) не является локально компактным.

Эдвардс также определяет второе расстояние. Для этого он напоминает, что каждое компактное метрическое пространство изометрически вкладывается в пространство ограниченных последовательностей (см.

теорему 2.3).

Определение 7.34. Вторым расстоянием Эдвардса между компактными метрическими пространствами X и Y назовем точную нижнюю грань dH (X, Y ) расстояний Хаусдорфа между подмножествами A, B, изоE метричными соответственно X и Y.

–  –  –

Заметим, что, в силу предложения 6.10, на пространстве M классов изометрии метрических компактов второе расстояние Эдвардса совпадает с расстоянием Громова–Хаусдорфа. Кроме того, как было продемонстрировано выше, Эдвардс в работе [3] не только определил это расстояние, но и заложил основы теории, доказав целый ряд важных теорем, описывающих свойства этого расстояния.

Упражнение 7.35. Через dGH обозначим расстояние между метрическими компактами, определенное так же, как и в 7.33, только вместо -изометрий в смысле Эдвардса используя -изометрии в смысле определения 6.15.

Выясните, как соотносятся между собой функции расстояния dGH, dGH и dE, рассматриваемые на пространстве




Похожие работы:

«2 СОДЕРЖАНИЕ Общие положения Характеристика профессиональной деятельности выпускника Область профессиональной деятельности выпускника 2.1. 4 Объекты профессиональной деятельности выпускника...»

«Календарь мероприятий ФСЭТР 2016-17 г. ДАТА НАЗВАНИЕ, ГОРОД КЛАСС Сентябрь 01 сент I Международный интернет-конкурс М 05 окт. хореографического искусства 2016г. "ЗВЕЗДНЫЙ ПУТЬ. Хореография." ( Событие является хорошей стартовой площадкой для...»

«Опухоли Г О Л О В Ы и Ш Е И Диагностика и лечение опухолей головы и шеи 2 ’2 0 1 2 Детализация техники срединной мандибулотомии как хирургического доступа в лечении рака задней трети языка Д.В. Сикорский1, А.Н...»

«Дэн Миллман Вопросы разума – ответы сердца. Как вернуть своей жизни осмысленность Серия "Помоги себе сам (Весь)" http://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=8589159 Дэн Миллман. Вопросы разума – ответы сердца. Как вернуть своей жизни осмысленность: ИГ "Весь"; Санкт-Петербург; ISBN 978-5-9573-2...»

«Статья опубликована в журнале "Вестник связи" 3-2002 Перетятько О.Н., Кочеров А.В. О влиянии отсутствия синхронизации АТС на электрические характеристики коммутируемого телефонного канала, в том числе и на пропускную способность канала передачи данных До...»

«У К 615.89(035) К 53.59 C 32 Се и ва Га и а А е еев а — 17,, : nrt, Maglara, julia gy, KAMONRAT / Shutterstock.com И Shutterstock.com С.. М.И / C 32. — М. : Э., 2013. — 208. — (Х ISBN 978-5-699-628...»

«Автоматизированная копия 586_328835 ВЫСШИЙ АРБИТРАЖНЫЙ СУД РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПОСТАНОВЛЕНИЕ Президиума Высшего Арбитражного Суда Российской Федерации № 12416/11 Москва 14 февраля 2012 г. Президиум Высшего Арбитражного Суда Российской Федерации в составе: председательс...»

«АДМИНИСТРАЦИЯ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "ПЛЕСЕЦКИЙ РАЙОН" ПОСТАНОВЛЕНИЕ 00 января 0000 года № 000-па пос. Плесецк Об утверждении муниципальной ведомственной целевой программы "Развитие туризма на территории Плесецкого района на 2013-2015 годы" В це...»

«Драматургия шахматной доски На правах парадокса © Сигизмунд Кржижановский ЧЁРНЫЕ. b5 b4. БЕЛЫЕ. Крg1 g2. ЧЁРНЫЕ. b4 b3. На месте вашего короля я бы уже отряхнулся от престола. БЕЛЫЕ. Д-да? ЧЁРНЫЕ. Вы видите, моя пешка креп...»

«Этот таинственный объект — около 100 метров в диаметре, по мнению очевидцев,— неподвижно висел над заливом острова Итуруп (Курилы). Фото Б. Казьмина. Склон горы Ай-Петри в Крыму фотограф снимал в полдень при ярком солнце, но предмет, находящийся в верхней части снимка, стал виден лишь на негативе. Второ...»








 
2017 www.kn.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные ресурсы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.